折って回して見つける図形の対称クイズ

答え：両側の形がぴったり重なる

対称の軸は、そこで折ると両側の形がぴったり重なる直線です。面積が等しいだけでは足りず、辺や頂点の位置まで対応する必要があります。たとえば正方形でない長方形を対角線で二つに分けると、二つの部分の面積は等しくなりますが、その線で折っても重なりません。「同じ広さ」と「折って同じ形が重なること」を分けて確かめましょう。

答え：斜め向きの軸もある

対称の軸は縦や横に限らず、斜めにもなります。正方形の対角線はその例で、線を境に折ると二つの三角形が重なります。紙の置き方を変えても図形の性質は変わりません。図形を少し傾ければ、もとの縦の軸も紙面に対して斜めに見えます。軸を探すときは、机や画面に対する向きより、その線で両側が対応するかを見ましょう。

答え：4本

正方形には縦と横の中央を通る軸が二本、対角線上の軸が二本あり、合計四本です。同じ直線を上から下、下から上と逆向きに見ても、別の軸には数えません。縦横だけを調べると、斜めの二本を見落とします。図の破線は四本の直線を表しています。文字や模様を付けると全体の対称性が変わることがあるため、ここでは輪郭だけを考えています。

答え：2本

正方形でない長方形の対称の軸は、向かい合う辺の中点を結ぶ二本です。縦と横の中央では折って重なりますが、対角線では長い辺と短い辺が対応してしまい、ぴったり重なりません。正方形も長方形の仲間なので、問いでは縦横の長さが違うと指定しています。図形の名前だけでなく、辺の長さの条件にも注目すると、四本という答えとの違いが見えてきます。

答え：3本

正三角形では、各頂点と向かい側の辺の中点を結ぶ直線が対称の軸です。頂点が三つあるので軸は三本になります。一つの頂点から底辺へ下ろす線だけを見ると、一本と数えがちですが、紙を回してほかの頂点も同じように確かめられます。一本の直線を両向きに数えて六本に増やすこともありません。辺や角が等しいという条件が、三つの向きでの重なりを支えています。

答え：ない

三辺の長さがすべて異なる三角形には、対称の軸がありません。ある頂点を通る線で折って重なるには、その頂点に集まる二辺などが対応して同じ長さになる必要があります。三辺がすべて異なるという条件では、その対応を作れません。三角形なら必ず一本ある、というわけではないのです。正三角形や二等辺三角形と比べると、辺の長さの違いが対称性にも関わることが分かります。

答え：無数にある

円は、どの直径を通る直線で折っても両側が重なるため、対称の軸が無数にあります。縦と横の二本や、そこへ斜めを加えた四本だけに限りません。円の中心を通る線は、どんな向きにも選べます。一方、中心を通らない線で分けても両側は重なりません。円い紙を中心で折り、開いてから折る向きを変えると、別の向きにも軸が見つかります。

答え：ある点の周りで0度より大きく、一周より小さく回して重ねる

回転対称では、ある点を中心に図形を回し、0度より大きく、一周より小さな角度でもとの形に重なるかを調べます。図形を裏返して重ねる操作と、裏返さずに回す操作は区別します。拡大すれば大きさが変わるため、この確認にはなりません。必ず一周すれば元に戻ることだけでは、回転対称の特徴を見つけたことにならないので、一周未満という条件が大切です。

答え：90度

正方形は中心の周りに四分の一周、つまり90度回すと、辺と頂点がもとの位置に重なります。180度でも重なりますが、その前に90度で重なります。45度では頂点が元の辺の途中の方向へ動き、輪郭が一致しません。四回の同じ回転で一周するので、360÷4＝90と確かめられます。ここでは模様や印による違いを除き、正方形の輪郭だけを比べています。

答え：60度

一周の360度を六つの等しい角度に分けるので、最初に重なる角度は360÷6＝60度です。120度も60度の二回分なので重なりますが、最初ではありません。90度ずつでは一周を四つに分けることになります。図は、同じ形の丸を等間隔に六つ置いた例です。丸の色や大きさを一つだけ変えると同じ対称性とは限らないため、同じ丸をそろえて描いています。